Question

15．如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC．
（Ⅰ）若O为△BCD的重心，N在棱AC上，且CF=2FN，求证：OF∥平面BDN．
（Ⅱ）求直线AD与平面DEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）过O，F分别作OM∥BC，FH∥BC，分别交BD，BN于M，H，并连接MH，只需证明四边形OFHM为平行四边形，从而根据线面平行的判定定理即可得出OF∥平面BDN；
（Ⅱ）取AC中点G，并连接EG，根据条件可说明EG，EB，ED两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，确定图形上一些点的坐标，并设平面DEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），根据$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ED}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EG}=0}\end{array}\right.$即可求出法向量$\overrightarrow{n}$，可设直线AD与平面DEF所成角为θ，则由sinθ=$|cos＜\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{n}＞|$即可求得sinθ．

解答 解：（Ⅰ）证明：如图，过O作OM∥BE，并且OM=$\frac{2}{3}BE=\frac{a}{3}$，过F作FH∥BC，且FH=$\frac{1}{3}BC=\frac{a}{3}$；
∴OM∥FH，且OM=FH；
∴四边形OMHF是平行四边形；
∴OF∥MH，OF?平面BDN，MH?平面BDN；
∴OF∥平面BDN；
（Ⅱ）
取AC中点G，连接EG，则EG∥AB，AB⊥平面BCD；
∴EG⊥平面BCD；
又DE⊥BC；
EG，EB，ED三直线两两垂直，∴分别以这三直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则：
E（0，0，0），F（$\frac{a}{4}，-\frac{a}{4}，0$），A（a，$\frac{a}{2}$，0），D（0，0，$\frac{\sqrt{3}a}{2}$）；
∴$\overrightarrow{AD}=（-a，-\frac{a}{2}，\frac{\sqrt{3}a}{2}）$，$\overrightarrow{ED}=（0，0，\frac{\sqrt{3}a}{2}）$，$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{a}{4}，-\frac{a}{4}$，0）；
设平面DEF的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，则：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ED}=\frac{\sqrt{3}az}{2}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=\frac{ax}{4}-\frac{ay}{4}=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{z=0}\\{x=y}\end{array}\right.$，取y=1，∴$\overrightarrow{n}=（1，1，0）$；
设直线AD与平面DEF所成角为θ，则sinθ=|cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AD}＞$|=$\frac{\frac{3a}{2}}{2a}=\frac{3}{4}$；
∴直线AD与平面DEF所成角的正弦值为$\frac{3}{4}$．

点评 考查重心的性质：重心到顶点距离是它到对边中点距离的2倍，相似三角形对应边的比例关系，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，能求空间点的坐标，平面法向量的定义及求法，向量夹角余弦的坐标公式．