Question

14．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=-$\sqrt{3}$x，离心率为e，则$\frac{{a}^{2}+{e}^{2}}{b}$的最小值为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 $\frac{{a}^{2}+{e}^{2}}{b}$=$\frac{{a}^{2}+\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}{b}$=$\frac{{a}^{2}+1+（\frac{b}{a}）^{2}}{b}$=$\frac{4}{b}$+$\frac{a}{b}•a$=$\frac{4}{b}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，利用基本不等式，即可求出$\frac{{a}^{2}+{e}^{2}}{b}$的最小值．

解答 解：由题意，$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{{a}^{2}+{e}^{2}}{b}$=$\frac{{a}^{2}+\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}{b}$=$\frac{{a}^{2}+1+（\frac{b}{a}）^{2}}{b}$=$\frac{4}{b}$+$\frac{a}{b}•a$=$\frac{4}{b}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∵a＞0，b＞0，
∴$\frac{4}{b}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$a≥2$\sqrt{4•（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，当且仅当$\frac{4}{b}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，即a=2，b=2$\sqrt{3}$时，等号成立．
故答案为：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查双曲线的性质，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．