Question

7．如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，AB=2，AP⊥平面ABC，D为PC上的动点．
（Ⅰ）若PA=2，当DB与平面PAC所成的角最大时，求二面角D-AB-C的正切值；
（Ⅱ）若A在平面PBC上的射影为△PBC的重心，求三棱锥P-ABC的外接球的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作BM⊥AC于M，连接DM，则∠BDM为DB与平面PAC所成的角，过D作DK⊥AC于K，作KG⊥AB于G，连接DG，则∠DGK为二面角D-AB-C的平面角，即可求出二面角D-AB-C的正切值；
（Ⅱ）作PH⊥BC于H，AN⊥PH于N，则PN：NH=2：1，求出AP，延长AH与球面交于E，求出△ABC外接圆的直径为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，可得球的直径，即可求三棱锥P-ABC的外接球的体积．

解答 解：（Ⅰ）作BM⊥AC于M，连接DM，则∠BDM为DB与平面PAC所成的角．
∵tan∠BDM=$\frac{BM}{MD}$，
∴MD⊥PC，即PD：DC=3：1时，MD最小，∠BDM最大．
过D作DK⊥AC于K，作KG⊥AB于G，连接DG，
则∠DGK为二面角D-AB-C的平面角，tan∠DGK=$\frac{DK}{KG}$=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$；
（Ⅱ）作PH⊥BC于H，AN⊥PH于N，则PN：NH=2：1．
设NH=x，则由△ANH∽△PAH得x=1，PH=3，
∴AP=$\sqrt{6}$．
延长AH与球面交于E，
∵△ABC外接圆的直径为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴AE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴球的直径为$\sqrt{A{P}^{2}+A{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{102}}{3}$，
∴三棱锥P-ABC的外接球的体积为$\frac{17\sqrt{102}}{27}π$．

点评 本题考查二面角的平面角，考查三棱锥P-ABC的外接球的体积，考查学生分析解决问题的能力，正确做出二面角的平面角是关键．