Question

15．一种智能手机电子阅读器，特别设置了一个“健康阅读”按钮，在开始阅读或者阅读期间的任意时刻按下“健康阅读”按钮后，手机阅读界面的背景会变为蓝色或绿色以保护阅读者的视力．假设“健康阅读”按钮第一次按下后，出现蓝色背景与绿色背景的概率都是$\frac{1}{2}$．从按钮第二次按下起，若前次出现蓝色背景，则下一次出现蓝色背景、绿色背景的概率分别为$\frac{1}{3}$、$\frac{2}{3}$；若前次出现绿色背景，则下一次出现蓝色背景、绿色背景的概率分别为$\frac{3}{5}$、$\frac{2}{5}$．记第n（n∈N，n≥1）次按下“健康阅读”按钮后出现蓝色背景概率为P_n．
（Ⅰ）求P₂的值；
（Ⅱ）当n∈N，n≥2时，试用P_n-1表示P_n；
（Ⅲ）求P_n关于n的表达式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）计算按钮第一次、第二次按下后均出现蓝色背景与第一次、第二次按下后依次出现绿色、蓝色背景的概率，再求和即可；
（Ⅱ）考虑第n-1次按下按钮后出现蓝色背景的概率与出现绿色背景的概率，计算第n-1次、第n次按下按钮后均出现蓝色背景与第n-1次、第n次按下按钮后依次出现绿色背景、蓝色背景的概率，求和得P_n与P_n-1的递推式；
（Ⅲ）由得P_n与P_n-1的递推式，得出$\{{P_n}-\frac{9}{19}\}$是等比数列，求出P_n的通项公式即可．

解答 解：（Ⅰ）若按钮第一次、第二次按下后均出现蓝色背景，
则其概率为$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$；
若按钮第一次、第二次按下后依次出现绿色背景、蓝色背景，
则其概率为$\frac{1}{2}×\frac{3}{5}=\frac{3}{10}$；
所以，所求的概率为${P_2}=\frac{1}{6}+\frac{3}{10}=\frac{7}{15}$；…（4分）
（Ⅱ）第n-1次按下按钮后出现蓝色背景的概率为P_n-1（n∈N，n≥2），
则出现绿色背景的概率为1-P_n-1；
若第n-1次、第n次按下按钮后均出现蓝色背景，
则其概率为${P_{n-1}}×\frac{1}{3}$；
若第n-1次、第n次按下按钮后依次出现绿色背景、蓝色背景，
则其概率为$（1-{P_{n-1}}）×\frac{3}{5}$；
所以，${P_n}=\frac{1}{3}{P_{n-1}}+\frac{3}{5}（1-{P_{n-1}}）=-\frac{4}{15}{P_{n-1}}+\frac{3}{5}$，
（其中n∈N，n≥2）；…（8分）
（Ⅲ）由（2）得，${P_n}-\frac{9}{19}=-\frac{4}{15}（{P_{n-1}}-\frac{9}{19}）$，
即$\frac{{P}_{n}-\frac{9}{19}}{{P}_{n-1}-\frac{9}{19}}$=-$\frac{4}{15}$，（其中n∈N，n≥2）；
所以，$\{{P_n}-\frac{9}{19}\}$是首项为$\frac{1}{38}$，公比为$-\frac{4}{15}$的等比数列，
所以，P_n-$\frac{9}{19}$=$\frac{1}{38}$•${（-\frac{4}{15}）}^{n-1}$；
即${P_n}=\frac{1}{38}{（-\frac{4}{15}）^{n-1}}+\frac{9}{19}（n∈N，n≥1）$．…（12分）

点评 本题考查了古典概型的概率的应用问题，也考查了递推数列的应用问题，考查了等比数列的定义与通项公式的应用问题，是综合性题目．