Question

20．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是以AD为底的等腰三角形．
（Ⅰ）证明：AD⊥PB；
（Ⅱ）若四棱锥P-ABCD的体积等于$\frac{3}{2}$，问：是否存在过点C的平面CMN，分别交PB，AB 于点M，N，使得平面CMN∥平面PAD？若存在，求出△CMN
的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意取AD的中点G，连接PG、GB、BD，因△PAD是等腰直角三角形，所以PG⊥AD，再由AB=AD，且∠DAB=60°得BG⊥AD，证出AD⊥平面PGB，即AD⊥PB；
（Ⅱ）分别取PA、AB的中点M、N，连结CM、MN、NC，证明四边形ANCD为平行四边形，可得平面CMN∥平面PAD．证明△CBM是直角三角形，可得结论．

解答 （Ⅰ）证明：取AD的中点G，连接PG、GB、BD∵PA=PD，
∴PG⊥AD．（2分）
∵AB=AD，且∠DAB=60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD，
又∵PG∩BG=G，PG、BG?平面PGB
∴AD⊥平面PGB．
∴AD⊥PB．（5分）
（Ⅱ）解：存在，理由如下：
分别取PA、AB的中点M、N，连结CM、MN、NC，则MN∥PA；
∵ABCD是梯形，且DC平行且等于$\frac{1}{2}$AB，
∴DC平行且等于AN，于是，四边形ANCD为平行四边形，
∴平面CMN∥平面PAD．
由（Ⅰ）知，MN=1，CN=2，在△PBC与在△CBM中：$\frac{PB}{BC}=\frac{BC}{BM}=\sqrt{2}$，
∴△PBC∽△CBM，得CM=$\sqrt{3}$，∴△CBM是直角三角形，
∴${S_{△CMN}}=\frac{1}{2}•CM•MN=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查了线面垂直和平行的判定定理的应用，主要用了中位线和等腰三角形的中线证明线线平行和垂直．