Question

5．已知△ABC为直角三角形，AB是斜边，三个顶点在平面α的同侧，△ABC在平面α内的正投影为正△A′B′C′，且AA′=3，CC′=4，BB′=5，则△ABC的面积是$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 设正△A′B′C′的棱长为a，由勾股定理可得AC²=a²+1，BC²=a²+1，AB²=a²+4，AB²=AC²+BC²，求出AC，BC，代入三角形面积公式可得答案．

解答 解：已知中如下图所示：

设正△A′B′C′的棱长为a，
∵AA′=3，CC′=4，BB′=5，
过A向BB′，CC′引垂线，垂足分别为D，E，
过C向BB′引垂线，垂足为F，
则AD=AE=CF=a，CE=BF=1，BD=2，
故AC²=a²+1，BC²=a²+1，AB²=a²+4，
由△ABC为直角三角形，AB是斜边，
故AB²=AC²+BC²，即a²+4=2（a²+1），
解得：a²=2，
故AC=BC=$\sqrt{3}$，
故△ABC的面积S=$\frac{1}{2}AC•BC$=$\frac{3}{2}$，
故答案为：$\frac{3}{2}$

点评 本题考查的知识点是平行投影，其中正确理解平行投影的定义，进而画出满足条件的图形是解答的关键．