Question

10．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD，PA⊥底面ABCD，过BC的平面交PD于M，交PA于N（M与D不重合）．
（1）求证：MN∥BC；
（2）如果BM⊥AC，求此时$\frac{PM}{PD}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的性质定理即可证明MN∥BC；
（2）根据线面垂直的判定定理证明BCDK是平行四边形，即可证明M是PD的中点即可得到结论．

解答 证明：（Ⅰ）∵BC∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，
∴BC∥平面PAD，
∵平面PAD∩平面BCMN=MN，
∴BC∥MN，即MN∥BC；       …（4分）
（2）过M作MK∥PA交AD于K，则K为AD中点，连结BK．
因为PA⊥底面ABCD，
所以MK⊥底面ABCD．
所以MK⊥AC．
又因为BM⊥AC，BM∩MK=M，
所以AC⊥平面BMK，
所以AC⊥BK．
由K为AD中点，BC∥AD，BC=$\frac{1}{2}$AD，可得DC∥BK，
可得AC⊥CD，
所以在平面ABCD中可得BCDK是平行四边形．
所以BC=DK=AK，
因为K是AD中点，
所以M为PD中点．
所以$\frac{PM}{PD}=\frac{1}{2}$．                                         …（13分）

点评 本题主要考查线面垂直和线面平行的判定和性质，综合考查空间直线和平面的位置关系的判定，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理，考查学生的运算和推理能力，属于基本知识的考查．