Question

2．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），f（2）=-2，f（1+x）=-f（1-x），则不等式f（x）＜2e^x的解集为（　　）

• A． （-2，+∞）
• B． （0，+∞）
• C． （1，+∞）
• D． （4，+∞）

Answer 1

分析 由f（2）=-2，f（1+x）=-f（1-x），取x=1代入，可得f（0）=2．令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，可得g′（x）＜0，利用其单调性即可解出．

解答 解：∵f（2）=-2，f（1+x）=-f（1-x），
∴f（2）=-f（0）=-2，解得f（0）=2．
令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则g′（x）=$\frac{{f}^{′}（x）{e}^{x}-f（x）{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{{f}^{′}（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∵f′（x）＜f（x），
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在R上单调递减，
∵$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜2=$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$，
∴x＞0，
∴不等式f（x）＜2e^x的解集为（0，+∞），
故选：B．

点评 本题考查了构造函数利用导数研究函数的单调性解不等式的方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．