Question

9．已知函数f（x）=Asin3x，x∈R，且f（$\frac{5}{12}$π）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求A的值；
（2）若f（θ）-f（-θ）=$\frac{3}{2}$，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），求f（$\frac{3π}{4}$-θ）

Answer 1

分析 （1）由f（$\frac{5}{12}$π）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$得到A；
（2）利用（1）的结论，得到关于θ的等式，结合其范围，求出sin3θ，cos3θ，利用三角函数的恒等变形得到所求．

解答 解：（1）因为f（$\frac{5}{12}$π）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以Asin（3×$\frac{5}{12}$π）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以A=-1；
（2）由（1）可知f（x）=-sin3x，
所以由f（θ）-f（-θ）=$\frac{3}{2}$，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），得到-sin3θ-sin3θ=$\frac{3}{2}$，即sin3θ=$-\frac{3}{4}$，所以cos3θ=-$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
所以f（$\frac{3π}{4}$-θ）=-sin（$\frac{9π}{4}-3θ$）=-sin（$\frac{π}{4}-3θ$）=sin（3$θ-\frac{π}{4}$）=sin3θcos$\frac{π}{4}$-cos3θsin$\frac{π}{4}$=$-\frac{3}{4}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{7}}{4}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{14}-3\sqrt{2}}{8}$．

点评 本题考查了三角函数式的化简与求值；关键是熟练运用三角函数公式化简．