Question

1．设函数f（x）=cos（$\frac{π}{2}$-x）cosx-sin²（π-x）-$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ） 求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ） 若f（α）=$\frac{3\sqrt{2}}{10}$-1，且α∈（$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$），求f（α-$\frac{π}{8}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性得出结论．
（Ⅱ）由条件利用同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式求得$f（α-\frac{π}{8}）$的值．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=sinxcosx-{sin^2}x-\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}（sin2x+cos2x）-1$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2x+\frac{π}{4}）-1$，
∴f（x）的最小正周期为$T=\frac{2π}{2}=π$．    
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}$，得$kπ-\frac{3π}{8}≤x≤kπ+\frac{π}{8}$，
∴f（x）的单调递增区间为$[kπ-\frac{3π}{8}，kπ+\frac{π}{8}]（k∈Z）$．   
（Ⅱ）∵$f（α）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2α+\frac{π}{4}）-1=\frac{{3\sqrt{2}}}{10}-1$，∴$sin（2α+\frac{π}{4}）=\frac{3}{5}$． 
由$α∈（\frac{π}{8}，\frac{3π}{8}）$知$2α+\frac{π}{4}∈（\frac{π}{2}，π）$，∴$cos（2α+\frac{π}{4}）=-\frac{4}{5}$． 
∴$f（α-\frac{π}{8}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin[2（α-\frac{π}{8}）+\frac{π}{4}]-1$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin[（2α+\frac{π}{4}）-\frac{π}{4}）]-1$ 
=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}[sin（2α+\frac{π}{4}）cos\frac{π}{4}-cos（2α+\frac{π}{4}）sin\frac{π}{4}]-1$ 
=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}×（\frac{3}{5}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{4}{5}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}）-1$=$-\frac{3}{10}$．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的周期性和单调性，属于中档题．