Question

6．已知函数f（x）=|x-3|+|x-2|+k．
（Ⅰ）若f（x）≥3恒成立，求后的取值范围；
（Ⅱ）当k=1时，解不等式：f（x）＜3x．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据f（x）≥3恒成立，得到|x-3|+|x-2|的最小值大于等于3-k，求出|x-3|+|x-2|的最小值即可确定出k的取值范围；
（Ⅱ）把k=1代入不等式，分情况讨论x的范围，利用绝对值的代数意义化简，求出不等式的解集即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意，得|x-3|+|x-2|+k≥3，对?x∈R恒成立，
即（|x-3|+|x-2|）_min≥3-k，
又|x-3|+|x-2|≥|x-3-x+2|=1，
∴（|x-3|+|x-2|）_min=1≥3-k，
解得：k≥2；
（Ⅱ）当k=1时，不等式可化为f（x）=|x-3|+|x-2|+1＜3x，
当x≤2时，变形为5x＞6，
解得：x＞$\frac{6}{5}$，
此时不等式解集为$\frac{6}{5}$＜x≤2；
当2＜x＜3时，变形为3x＞2，
解得：x＞$\frac{2}{3}$，
此时不等式解集为2＜x＜3；
当x≥3时，不等式解得：x＞-4，
此时不等式解集为x≥3，
综上，原不等式的解集为（$\frac{6}{5}$，+∞）．

点评 此题考查了绝对值三角不等式，以及绝对值不等式的解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．