Question

18．已知函数$f（x）=-aln\frac{1}{x}-b{x^2}$图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln2+2．．
（1）求a，b的值；
（2）若方程f（x）+m=0在$[\frac{1}{e}，e]$内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底，e≈2.7）．

Answer 1

分析 （1）根据函数切线建立方程关系即可求a，b的值；
（2）构造方程，求函数的导数，利用导数进行求解即可．

解答 解（Ⅰ）f′（x）=$\frac{a}{x}$-2bx，f′（2）=$\frac{a}{2}$-4b，f（2）=aln2-4b．
∵点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln2+2．．
∴$\frac{a}{2}$-4b=-3，且aln2-4b=-6+2ln2+2．
解得a=2，b=1．
（Ⅱ）f（x）=2lnx-x²，
令h（x）=f（x）+m=2lnx-x²+m，
则h′（x）=$\frac{2}{x}$-2x=$\frac{2（1-{x}^{2}）}{x}$，
令h′（x）=0，得x=1（x=-1舍去）．
在$[\frac{1}{e}，e]$内，当x∈[$\frac{1}{e}$，1）时，h′（x）＞0，∴h（x）是增函数；
当x∈（1，e]时，h′（x）＜0，∴h（x）是减函数．
则方程h（x）=0在[$\frac{1}{e}$，e]内有两个不等实根的充要条件是$\left\{\begin{array}{l}{h（\frac{1}{e}）≤0}\\{h（1）＞0}\\{h（e）≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-2-（\frac{1}{e}）^{2}+m≤0}\\{m-1＞0}\\{2-{e}^{2}+m≤0}\end{array}\right.$，解得1＜m≤2+（$\frac{1}{e}$）²．

点评 本题主要考查导数的几何意义以及函数与方程之间的关系，考查学生的运算能力．