Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．
（1）求向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角（用弧度表示）；
（2）设$\overrightarrow{c}$=（cosθ，sinθ），若（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{c}$，求sinθ和cosθ的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积公式解答；
（2）由向量垂直得到数量积为0，展开整理得到所求．

解答 解：（1）由已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．
所以$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}×（-\frac{\sqrt{3}}{2}）+\frac{\sqrt{3}}{2}×（-\frac{1}{2}）=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，
向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值为：$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{5π}{6}$；
（2）设$\overrightarrow{c}$=（cosθ，sinθ），因为（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{c}$，所以（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$=0，
所以=（$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$）（cosθ，sinθ）=0．
所以（$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）cosθ+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$）sinθ=0．
整理得cosθ-sinθ=0，所以sinθ=cosθ=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了利用向量的数量积公式求向量的夹角以及向量垂直，数量积为0．