Question

17．直线l 交椭圆$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}$=1于M、N两点，椭圆的上顶点为B点，若△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是（　　）

• A． 2x-3y-9=0
• B． 3x-2y-11=0
• C． 3x+2y-7=0
• D． x-y-5=0

Answer 1

分析 设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），MN的中点为G，MN的方程为y=kx+b，结合题意可得G的坐标，再由A、B在椭圆上，利用“点差法”求得直线l的斜率，再由直线方程的点斜式得答案．

解答 解：设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），MN的中点为G，MN的方程为y=kx+b，
而B（0，2），又△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点（2，0）上，
由重心坐标公式可得$\frac{0+{x}_{1}+{x}_{2}}{3}=2，\frac{2+{y}_{1}+{y}_{2}}{3}=0$，
故x₁+x₂=6，y₁+y₂=-2，则MN的中点G为（3，-1），
又M、N在椭圆上，$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}=8①}\\{{{x}_{2}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}=8②}\end{array}\right.$，
①-②，可得（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
又由x₁+x₂=6，y₁+y₂=-2，
可得k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\frac{3}{2}$，
又由直线MN过点G（3，-1），则直线l的方程是y+1=$\frac{3}{2}（x-3）$，整理得：3x-2y-11=0．
故选：B．

点评 本题主要考查了直线与椭圆相交的位置关系、三角形的重心坐标公式、属于中档题．