Question

6．如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M、T（不与A、B重合），DN与圆O相切于点N，连结MC，MB，OT．
（Ⅰ）求证：DT•DM=DO•DC；
（Ⅱ）若∠DOT=30°，求∠BMC．

Answer 1

分析 （1）可证△DCN与△DNO相似，得DN²=DB•DO，由切割线定理可得DN²=DT•DM，即可得证；
（2）结合（1）的结论证得△DTO∽△DCM，得到两个角∠DOT、∠DMC相等，结合圆周角定理即可求得∠BMC．

解答 （Ⅰ）证明：连接ON，∠OND=90°，$BN=\frac{1}{2}OD=OB=ON$，△OBN为等边三角形，则CN⊥OB，
可证△DCN与△DNO相似，得DN²=DB•DO；
又DN²=DT•DM，则DT•DM=DO•DC-------（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，$\frac{DT}{DC}=\frac{DO}{DM}$，且∠TDO=∠CDM，
所以△DTO与△DBM相似，则∠DOT=∠DMC-------（10分）
因为$∠BMT=\frac{1}{2}∠BOT={15°}$，所以∠BMC=15°

点评 本题主要考查与圆有关的比例线段、圆中的切割线定理以及相似三角形，属于基础题．