Question

18．已知：x∈（0，+∞），观察下列式子：x+$\frac{1}{x}≥2，x+\frac{4}{x^2}=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{4}{x^2}$≥3…类比有x+$\frac{a}{x^n}≥n+1（{n∈{N^*}}）$，则a的值为nⁿ．

Answer 1

分析 根据已知中x∈（0，+∞），观察下列式子：x+$\frac{1}{x}≥2，x+\frac{4}{x^2}=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{4}{x^2}$≥3…归纳可得：x+$\frac{{n}^{2}}{{x}^{n}}≥n+1（n∈{N}^{*}）$，进而得到答案．

解答 解：由已知中：x∈（0，+∞）时，
x+$\frac{1}{x}≥2，x+\frac{4}{x^2}=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{4}{x^2}$≥3，
…
归纳推理得：x+$\frac{{n}^{2}}{{x}^{n}}≥n+1（n∈{N}^{*}）$，
故a=nⁿ，
故答案为：nⁿ

点评 本题考查归纳推理，解题的关键在于发现左式中的规律，属于基础题．