Question

20．若等式（2x-1）²⁰¹⁴=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₄x²⁰¹⁴对于一切实数x都成立，则a₀+$\frac{1}{2}a$₁+$\frac{1}{3}$a₂+…+$\frac{1}{2015}$a₂₀₁₄=（　　）

• A． $\frac{1}{4030}$
• B． $\frac{1}{2015}$
• C． $\frac{2}{2015}$
• D． 0

Answer 1

分析 解法一：利用赋值法，x=1，x=0，然后求解就．
解法二：利用定积分直接求解即可．

解答 解法一：∵${（2x-1）^{2014}}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_{2014}}{x^{2014}}$，
∴$\frac{1}{4030}{（2x-1）^{2015}}+C={a_0}x+\frac{1}{2}{a_1}{x^2}+\frac{1}{3}{a_2}{x^3}+…+\frac{1}{2015}{a_{2014}}{x^{2015}}$（C为常数），
取x=1得${a_0}+\frac{1}{2}{a_1}+\frac{1}{3}{a_2}+…+\frac{1}{2015}{a_{2014}}=\frac{1}{4030}+C$，
再取x=0得$\frac{1}{4030}{（-1）^{2015}}+C=0$，即得$C=\frac{1}{4030}$，
∴${a_0}+\frac{1}{2}{a_1}+\frac{1}{3}{a_2}+…+\frac{1}{2015}{a_{2014}}=\frac{1}{2015}$，
故选B．
解法二：∵${（2x-1）^{2014}}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_{2014}}{x^{2014}}$，
∴${∫}_{0}^{1}{（2x-1）}^{2014}dx={∫}_{0}^{1}（{a}_{0}+{a}_{1}x+{a}_{2}{x}^{2}+…+{a}_{2014}{x}^{2014}）dx$，
∴$\frac{1}{2015}={a_0}+\frac{1}{2}{a_1}+\frac{1}{3}{a_2}+…+\frac{1}{2015}{a_{2014}}$，
故选B．

点评 本题考查二项式定理的应用，定积分的求法，考查转化思想的应用．