Question

11．设O是△ABC的外心，a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且b²-2b+c²=0，则$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AO}$的取值范围是[-$\frac{1}{4}$，2）．

Answer 1

分析 根据已知条件可画出△ABC及其外接圆，连接AO并延长，交外接圆于D．所以便得到cos∠BAD=$\frac{|AB|}{|AD|}$，cos∠CAD=$\frac{|AC|}{|AD|}$，所以$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）•$\overrightarrow{AD}$=b²-b=（b-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，而根据c²=2b-b²可求得b的范围0＜b＜2，所以求出二次函数（b-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$在（0，2）上的范围即可．

解答 解：如图，连接AO并延长交外接圆于D，AD是⊙O的直径，
连接BD，CD，则∠ABD=∠ACD=90°，cos∠BAD=$\frac{|AB|}{|AD|}$，cos∠CAD=$\frac{|AC|}{|AD|}$，
∴$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）•$\overrightarrow{AD}$
=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AC}$||$\overrightarrow{AD}$|cos∠CAD-$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AD}$|cos∠BAD
=$\frac{1}{2}$（b²-c²）
=$\frac{1}{2}$（b²+b²-2b）
=b²-b
=（b-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∵c²=2b-b²＞0，
∴0＜b＜2；
设f（b）=（b-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∴b=$\frac{1}{2}$时，f（b）取最小值-$\frac{1}{4}$，
又f（2）=2，
∴-$\frac{1}{4}$≤f（b）＜2；
∴$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AO}$的范围是[-$\frac{1}{4}$，2），
故答案为：[-$\frac{1}{4}$，2）．

点评 本题考查圆的直径所对的圆周角为90°，用直角三角形的边表示余弦值，以及二次函数值域的求法，注意解题方法的积累，属于中档题．