Question

8．函数f（x）=Acos（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象如图所示，把函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．
（Ⅰ）求函数y=g（x）的表达式；
（Ⅱ）若$x∈[{\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$时，函数y=g（x）的图象与直线y=m有两个不同的交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数图象求出A，T，求出ω，利用点（$\frac{π}{3}$，0）在曲线上，求出φ，看出图象向上平移的大小，得到解析式．然后利用三角函数的平移变换求解函数y=g（x）的表达式．
（II）根据余弦函数的单调区间得到函数值范围，解出m的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）由题知A=1，T=$4×（\frac{7π}{12}-\frac{π}{3}）$=π，…（2分）
所以A=1，T=π，ω=2，又点（$\frac{π}{3}$，0）在曲线上，得cos（2×$\frac{π}{3}$+φ）=0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，解得φ=-$\frac{π}{6}$…（4分）
所以函数的解析式为：f（x）=cos（2x$-\frac{π}{6}$）．…（6分），
函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数y=cos（2x-$\frac{π}{2}$）=sin2x的图象，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）=sin2x+1的图象．
所求函数y=g（x）的表达式：g（x）=sin2x+1．
（Ⅱ）由题意得：g（x）=sin2x+1，$x∈[{\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$时，2x∈$[\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，…（8分）
g（x）=sin2x+1关于x=$\frac{π}{4}$对称，…（10分）
sin2x+1∈$[\frac{\sqrt{3}}{2}+1，2]$，
$x∈[{\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$时，函数y=g（x）的图象与直线y=m有两个不同的交点，
实数m的取值范围：$[\frac{\sqrt{3}}{2}+1，2）$…（12分）．

点评 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数的最值以及函数的对称性的应用，学会读图，选择适当的点的坐标，能够简化计算过程，这是一个典型的三角函数问题．