Question

13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA，sinB，sinC依次成等比数列，c=2a且$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=18，则△ABC的面积是3$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 根据题意分别求得a和c，b和a的关系，代入余弦定理可求得cosB，进而求得sinB的值，利用已知向量的关系式求得ac，最后代入三角形面积公式即可．

解答 解：依题意知sin²B=sinA•sinC，即b²=ac，
∵c=2a，
∴b=$\sqrt{2}$a，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+4{a}^{2}-2{a}^{2}}{4{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∵$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=c•a•cosB=$\frac{3}{4}$ac=18，
∴ac=24，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×24×$\frac{\sqrt{7}}{4}$=3$\sqrt{7}$，
故答案为：3$\sqrt{7}$

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，向量的数量积的运算．考查了学生的基础知识的综合运用．