Question

3．已知数列{a_n}中，S_n为其前n项和，且a₁≠a₂，当n∈N₊时，恒有S_n=pna_n（p为常数）．
（Ⅰ）求常数p的值；
（Ⅱ）当a₂=2时，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设b_n=$\frac{4}{{（{a_n}+2）{a_{n+1}}}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁，可得p=1或a₁=0，舍去p=1，通过n=2，求得p；
（Ⅱ）通过当n=1时，a₁=S₁，n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，化简整理，即可得到通项；
（Ⅲ）化简b_n，并由放缩法，结合裂项相消求和，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁，∴a₁=pa₁，⇒p=1或a₁=0，
当p=1时，S_n=na_n则有S₂=2a₂?a₁+a₂=2a₂?a₁=a₂与已知矛盾，
∴p≠1，只有a₁=0．
当n=2时，由S₂=2pa₂?a₁+a₂=2pa₂，∵a₁=0又a₁≠a₂∴a₂≠0
∴$p=\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）∵a₂=2，${S_n}=\frac{1}{2}n{a_n}$，
当n＞2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{n}{2}{a_n}-\frac{n-1}{2}{a_{n-1}}$，
即$（n-2）{a_n}=（n-1）{a_{n-1}}?\frac{a_n}{n-1}=\frac{{{a_{n-1}}}}{n-2}$，
∴$\frac{a_n}{n-1}=\frac{a_2}{1}?{a_n}=2n-2$，
当n=1时，a₁=2×1-2=0也适合．
∴a_n=2n-2．
（Ⅲ）证明：${b_n}=\frac{4}{{（{a_n}+2）{a_{n+1}}}}=\frac{1}{n^2}＜\frac{1}{（n-1）n}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，
当n=1，2时，显然成立，
当n≥3时有${T_n}＜1+\frac{1}{4}+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+…+（{\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}}）=\frac{7}{4}-\frac{1}{n}＜\frac{7}{4}$．

点评 本题考查数列的通项和求和的关系，同时考查不等式的证明方法：放缩法，及裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．