Question

11．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{b}$|=4，（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）=0，若对每一个确定的$\overrightarrow b$，|$\overrightarrow{c}$|的最大值和最小值分别为m，n，则m-n的值为（　　）

• A． 随$|\overrightarrow a|$增大而增大
• B． 随$|\overrightarrow a|$增大而减小
• C． 是2
• D． 是4

Answer 1

分析 通过假设$\overrightarrow{a}$=（4，0）、$\overrightarrow{b}$=（2，2$\sqrt{3}$）、$\overrightarrow{c}$=（x，y），利用（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）=0，计算可得向量$\overrightarrow{c}$的终点在以（3，$\sqrt{3}$）为圆心、半径等于2的圆上，进而可得结论．

解答 解：假设$\overrightarrow{a}$=（4，0）、$\overrightarrow{b}$=（2，2$\sqrt{3}$）、$\overrightarrow{c}$=（x，y），
∵（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）=0，
∴（4-x，-y）•（2-x，2$\sqrt{3}$-y）=x²+y²-6x-2$\sqrt{3}$y+8=0，
即（x-3）²+（y-$\sqrt{3}$）²=4，
∴满足条件的向量$\overrightarrow{c}$的终点在以（3，$\sqrt{3}$）为圆心、半径等于2的圆上，
∴|$\overrightarrow{c}$|的最大值与最小值分别为m=2+2$\sqrt{3}$，n=2$\sqrt{3}$-2，
∴m-n=4，
故选：D．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算，利用特殊值代入法，是一种简单有效的方法，注意解题方法的积累，属于中档题．