Question

20．某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天下午4：00～5：00同时开放健身房和娱乐室，要求所有教工每天必须参加一个活动．据调查统计，每次去健身房的人有10%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有20%下次去健身房．请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？

Answer 1

分析 设第n天去健身房的人数为a_n，去娱乐室的人数为b_n，得a_n+b_n=150；
根据题意，推导出a_n的通项公式，判断n→+∞时，a_n是否稳定于某一个常数即可．

解答 解：记第n天去健身房的人数为a_n，去娱乐室的人数为b_n，则a_n+b_n=150；
当n=1时，则a₁=150-b₁，
当n≥2时，a_n=（1-10%）a_n-1+20%b_n-1
=（1-10%）a_n-1+20%（150-a_n-1）
=30+0.7a_n-1，
则a_n-100=0.7（a_n-1-100），
即$\frac{{a}_{n}-100}{{a}_{n-1}-100}$=0.7；
∴数列{a_n-100}是a₁-100为首项，以0.7为公比的等比数列；
∴a_n-100=（a₁-100）•0.7ⁿ，
即a_n=（a₁-100）•0.7ⁿ+100；
当n→+∞时，0.7ⁿ→0，
∴（a₁-100）•0.7ⁿ→0，
∴a_n→100；
即随着时间的推移，去健身房的人数应稳定于100人左右．

点评 本题考查了等比数列的概念与应用问题，也考查了递推数列的应用问题，考查了数学建模能力与逻辑推理能力，是综合性题目．