Question

10．若一个函数存在定义域和值域相同的区间，则称这个函数为这个区间上的一个“保城函数”，给出下列四个函数：
①f（x）=-x³；
②f（x）=3^x；
③f（x）=sin$\frac{πx}{3}$；
④f（x）=2ln3x-3．
其中可以找到一个区间使其为保城函数的有（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ②④

Answer 1

分析 根据“等值区间”的定义，要想说明函数存在“等值区间”，只要举出一个符合定义的区间M即可，但要说明函数没有“等值区间”，可以用反证明法来说明．由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案．

解答 解：①对于函数f（x）=-x³存在“等值区间”，如 x∈[-1，0]时，f（x）=-x³∈[-1，0]．
②对于函数f（x）=3^x，若存在“等值区间”[a，b]，由于函数是定义域内的增函数，故有3^a=a，3^b=b，
即方程3^x=x有两个解，即y=3^x和y=x的图象有两个交点，这与y=3^x和y=x的图象没有公共点相矛盾，故不存在
“等值区间”．
③对于函数f（x）=sin$\frac{πx}{3}$，存在“等值区间”，如 x∈[0，$\frac{1}{2}$]时，f（x）=sin$\frac{πx}{3}$∈[0，$\frac{1}{2}$]；
④对于f（x）=2ln3x-3，由于函数是定义域内的增函数，故有2ln3x-3=x有两个解，不成立，所以不存在
“等值区间”．
故选：B．

点评 本题考查的知识点是函数的概念及其构造要求，考查了函数的值域，在说明一个函数没有“等值区间”时，利用函数的性质、图象结合反证法证明是解答本题的关键，属于创新题．