Question

9．设数列{a_n}的前n项之积为P_n=a₁a₂…a_n（n∈N^*），若P_n=2${\;}^{\frac{n（n-1）}{2}}$，则$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{9}}$=（　　）

• A． $\frac{127}{64}$
• B． $\frac{511}{256}$
• C． $\frac{1023}{512}$
• D． $\frac{511}{512}$

Answer 1

分析 由题意得到a₁a₂…a_n=2${\;}^{\frac{n（n-1）}{2}}$，求得首项，取n=n-1得到${a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n-1}={2}^{\frac{（n-1）（n-2）}{2}}$（n≥2），作商求得数列通项公式，并得到数列∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，由此求得答案．

解答 解：由P_n=a₁a₂…a_n（n∈N^*），P_n=2${\;}^{\frac{n（n-1）}{2}}$，得a₁a₂…a_n=2${\;}^{\frac{n（n-1）}{2}}$，
∴${a}_{1}={2}^{0}=1$，${a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n-1}={2}^{\frac{（n-1）（n-2）}{2}}$（n≥2），
两式作商得：${a}_{n}={2}^{n-1}$（n≥2），
当n=1时上式成立，
∴${a}_{n}={2}^{n-1}$（n≥2），
则$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{{2}^{n-1}}$，$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{2}^{n}}$，
由$\frac{\frac{1}{{a}_{n+1}}}{\frac{1}{{a}_{n}}}=\frac{1}{2}$，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{9}}$=$\frac{1×（1-\frac{1}{{2}^{9}}）}{1-\frac{1}{2}}=\frac{511}{256}$．
故选：B．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的前n项和，是中档题．