Question

15．以抛物线y=$\frac{1}{4}$x²的焦点为圆心，以焦点到准线的距离为半径的圆被双曲线$\frac{x^2}{4}$-y²=1的渐近线截得的弦长为$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，得到圆心坐标和半径，由双曲线方程求出其渐近线方程，再由点到直线距离求得圆心到渐近线的距离，利用勾股定理求得弦长．

解答 解：由y=$\frac{1}{4}$x²，得x²=4y，∴F（0，1），则所求圆的方程为x²+（y-1）²=4，
由双曲线$\frac{x^2}{4}$-y²=1，得其渐近线方程为y=$±\frac{1}{2}x$，
不妨取y=$\frac{1}{2}x$，即x-2y=0，
则F（0，1）到直线x-2y=0的距离为d=$\frac{|-2|}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴弦长为$2\sqrt{4-（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{8}{5}\sqrt{5}$．

点评 本题考查抛物线和双曲线的简单性质，考查了点到直线的距离公式，是中档题．