Question

20．知a₁=1，a_n+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，则数列{a_n}的通项为a_n=（　　）

• A． $\frac{1}{2n-1}$
• B． 2n-1
• C． $\frac{1}{3n-2}$
• D． 3n-2

Answer 1

分析 通过a_n+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，可得3a_n+1a_n=a_n-a_n+1，进而有3=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，∴3a_n+1a_n=a_n-a_n+1，
两边同除以a_n+1a_n得：3=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
由a₁=1，∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为1，公差均为3的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+3（n-1）=3n-2，
∴a_n=$\frac{1}{3n-2}$，
故选：C．

点评 本题考查数列的递推公式，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．