Question

12．若不等式组$\left\{\begin{array}{l}x-y+2≥0\\ x-5y+10≤0\\ x+y-8≤0\end{array}\right.$所表示的平面区域存在点（x₀，y₀）使x₀+ay₀+2≤0成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． a＞1
• B． a＞-1
• C． a≤1
• D． a≤-1

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，根据线性规划的知识，结合直线斜率与区域的关系进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域，
若a=0，则不等式等价为x≤-2，此时不满足条件．
若a＞0，直线x+ay=-2的斜率k=-$\frac{1}{a}$＜0．若平面区域存在点（x₀，y₀）使x₀+ay₀+2≤0成立，
即区域内的存在点在直线x+ay=2的下方，此时不满足条件．
若a＜0，直线x+ay=2的斜率k=-$\frac{1}{a}$＞0，
若面区域存在点（x₀，y₀）使x₀+ay₀+2≤0成立，
即区域内的存在点在直线x+ay=2的上方，
即直线x+ay=2的斜率k=k=-$\frac{1}{a}$≤k_AB=1，
解得a≤-1，
故选：D

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．注意要对a进行讨论．