Question

17．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内（含正方体表面）任取一点M，则$\overrightarrow{A{A}_{1}}$•$\overrightarrow{AM}$≥1的概率是（　　）

• A． $\frac{5}{6}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 本题是几何概型问题，欲求点M满足则$\overrightarrow{A{A}_{1}}$•$\overrightarrow{AM}$≥1的概率，先以A为原点建立空间直角坐标系，由数量积公式得出点M到平面ABCD的距离大于等于$\frac{1}{2}$，点M的轨迹是正方体的$\frac{3}{4}$，求出其体积，再根据几何概型概率公式结合正方体的体积的方法求解即可

解答 解：本题是几何概型问题，正方体的体积为V=8，
以A为原点建立空间直角坐标系，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴．
那么A（0，0，0），A₁（0，0，2）
设M（x，y，z），那么x，y，z∈[0，2]
∴$\overrightarrow{AM}$=（x，y，z），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，2）
则$\overrightarrow{A{A}_{1}}$•$\overrightarrow{AM}$≥1，即2z≥1，z≥$\frac{1}{2}$．
即点M与平面ABCD的距离大于等于$\frac{1}{2}$，点M的轨迹是正方体的$\frac{3}{4}$，其体积为：V₁=$\frac{3}{4}$，
则$\overrightarrow{A{A}_{1}}$•$\overrightarrow{AM}$≥1的概率p为$\frac{3}{4}$；
故选：D．

点评 本小题主要考查几何概型、几何概型的应用、几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、化归与转化思想．属于中档题．