Question

15．定义在区间[a，b]（b＞a）上的函数$f（x）=\frac{1}{2}sinx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx$的值域是$[-\frac{1}{2}，1]$，则b-a的最大值M和最小值m分别是（　　）

• A． $m=\frac{π}{6}，M=\frac{π}{3}$
• B． $m=\frac{π}{3}，M=\frac{2π}{3}$
• C． $m=\frac{4π}{3}，M=2π$
• D． $m=\frac{2π}{3}，M=\frac{4π}{3}$

Answer 1

分析 利用两角差的正弦化简得，f（x）=sin（$x-\frac{π}{3}$），由函数f（x）在$[a-\frac{π}{3}，b-\frac{π}{3}]$上的值域为$[-\frac{1}{2}，1]$，不妨设$a-\frac{π}{3}=-\frac{π}{6}$，可得b-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{2}，\frac{7}{6}π$]，由此可得b-a的最大值M和最小值m的值．

解答 解：$f（x）=\frac{1}{2}sinx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx$=sin（$x-\frac{π}{3}$），
∵x∈[a，b]（b＞a），∴$x-\frac{π}{3}∈[a-\frac{π}{3}，b-\frac{π}{3}]$，
由函数f（x）在$[a-\frac{π}{3}，b-\frac{π}{3}]$上的值域为$[-\frac{1}{2}，1]$，
不妨设$a-\frac{π}{3}=-\frac{π}{6}$，则b-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{2}，\frac{7}{6}π$]，
∴b-a的最大值M=$\frac{7}{6}π-（-\frac{π}{6}）=\frac{4π}{3}$；
最小值m=$\frac{π}{2}-（-\frac{π}{6}）=\frac{2π}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查两角差的正弦，考查了三角函数的值是基础题．