Question

10．如图所示，在多面体P-ABCD中，AB⊥AD，PA⊥平面ABD，PE⊥平面BDE．
（1）证明：BD⊥平面PAE；
（2）若PA=1，AD=AB=2，PE=$\frac{5}{3}$，求二面角B-PE-A的正切值．

Answer 1

分析 （1）由已知可证PA⊥BD，PE⊥BD．又PE∩PA=P，即可证明BD⊥平面PAE．
（2）取BD中点F，连接EF，AF，由已知及PE垂直于平面BDE，则可求角BEF就是所求二面角，由$\frac{1}{2}AB•AD•AP•\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}BD•EF•PE•\frac{1}{3}$可求EF，从而可求tan∠BEF=$\frac{EF}{BF}$的值．

解答 解：（1）证明：∵PA⊥平面ABD，BD?平面ABD，∴PA⊥BD．
∵PE⊥平面BDE．BD?平面BDE，∴PE⊥BD．
又∵PE∩PA=P，
∴BD⊥平面PAE，
（2）如图，取BD中点F，连接EF，AF，
因为PE垂直于平面BDE，则角BEF就是所求二面角，
因为PA=1，AD=AB=2，PE=$\frac{5}{3}$，V_P-ABD=V_P-BDE，可得：$\frac{1}{2}AB•AD•AP•\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}BD•EF•PE•\frac{1}{3}$，
故有：$\frac{1}{2}×2×2×1×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×EF×\frac{5}{3}×\frac{1}{3}$，解得：EF=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，
所以可得：tan∠BEF=$\frac{EF}{BF}$=$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{5}}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法，考查了空间想象能力和推论论证能力，属于中档题．