数列{an}满足a1∈(0.1).an+1=-a${\;} {n}^{2}$+an+c(n∈N*)(1)证明:“对任意a1∈(0.1).an∈(0.1) 的充要条件是“c∈[0.$\frac{3}{4}$) (2)若a1=$\frac{1}{5}$.c=0.数列{bn}满足bn=$\frac{1}{1-{a} {n}}$.设Tn=b1+b2+-+bn.Rn=b1•b2-bn.若对� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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15．数列{a_n}满足a₁∈（0，1），a_n+1=-a${\;}_{n}^{2}$+a_n+c（n∈N^*）
（1）证明：“对任意a₁∈（0，1），a_n∈（0，1）”的充要条件是“c∈[0，$\frac{3}{4}$）”
（2）若a₁=$\frac{1}{5}$，c=0，数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$，设T_n=b₁+b₂+…+b_n，R_n=b₁•b₂…b_n，若对任意的n≥10，
n∈N^*，不等式kn-n²（5R_n-T_n）≥2015的解集非空，求满足条件的实数k的最小值．

分析（1）必要性：${a}_{2}=-（{a}_{1}-\frac{1}{2}）^{2}+c+\frac{1}{4}$，由a₁∈（0，1），可得a₂∈$（c，c+\frac{1}{4}]$，由$（c，c+\frac{1}{4}]$⊆（0，1），即可得出c的取值范围．
充分性：用数学归纳法证明即可．
（2）由（1）知a_n∈（0，1），可得b_n=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}-{a}_{n}^{2}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$，利用“累乘求积”可得R_n；又b_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}^{2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}-{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=-$（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}）$，利用“裂项求和”可得T_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-5．化简整理再利用基本不等式的性质即可得出．

解答解（1）必要性：${a}_{2}=-（{a}_{1}-\frac{1}{2}）^{2}+c+\frac{1}{4}$，由a₁∈（0，1），可得a₂∈$（c，c+\frac{1}{4}]$，
由$（c，c+\frac{1}{4}]$⊆（0，1），得c∈$[0，\frac{3}{4}）$．
充分性：用数学归纳法证明．
①n=1成立，n=2时，${a}_{2}=-（{a}_{1}-\frac{1}{2}）^{2}+c+\frac{1}{4}$，由a₁∈（0，1），c∈$[0，\frac{3}{4}）$，得a₂∈（0，1）；
②设n=k时，a_k∈（0，1），
则当n=k+1时，a_k+1=-$（{a}_{k}-\frac{1}{2}）^{2}$+c+$\frac{1}{4}$，由a_k∈（0，1），c∈$[0，\frac{3}{4}）$，得a_k+1∈（0，1）；
从而，对任意n∈N^*，a_n∈（0，1）．
综上，原题充要性得证．
（2）由（1）知a_n∈（0，1），∴b_n=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}-{a}_{n}^{2}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$，∴R_n=b₁•b₂…b_n=$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}•\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}$•…•$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{1}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{5{a}_{n+1}}$．又b_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}^{2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}-{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=-$（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}）$，
T_n=-$[（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}）+（\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{3}}）$+…+$（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}）]$=-$（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}）$=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-5．
∴5R_n-T_n=5，
∴kn-n²（5R_n-T_n）≥2015，化为k≥5n+$\frac{2015}{n}$，
由于对任意n≥10，n∈N^*有解，
当n=20，5n+$\frac{2015}{n}$=$200+\frac{3}{4}$；当n=21，5n+$\frac{2015}{n}$=200+$\frac{20}{21}$＞200+$\frac{3}{4}$．
∴k_min=200.75．

点评本题考查了充要条件、数学归纳法、“累乘求积”、“裂项求和”、基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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