Question

11．已知f（x）的定义域为[-π，π]，且f（x）为偶函数，且当x∈[0，π]时，f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）．
（1）求f（x）的解析式及f（x）的单调增区间；
（2）若[f（x）]²-$\sqrt{3}$f（x）=0，求x的所有可能取值．

Answer 1

分析 （1）根据偶函数满足f（-x）=f（x），求出当x∈[-π，0]时的解析式，即可得到f（x）的解析式，画出函数图象，易得f（x）的单调增区间；
（2）若[f（x）]²-$\sqrt{3}$f（x）=0，则f（x）=0或f（x）=$\sqrt{3}$，进而可得x的取值

解答 解：（1）当x∈[-π，0]时，-x∈[0，π]，
f（-x）=2sin（-x+$\frac{π}{3}$）
由于f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），
故f（x）=2sin（-x+$\frac{π}{3}$）x∈[-π，0]
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}2sin（x+\frac{π}{3}），x∈[0，π]\\ 2sin（-x+\frac{π}{3}），x∈[-π，0]\end{array}\right.$．
画出f（x）的图象


由图象可以易得f（x）的单调增区间为[-π，-$\frac{π}{6}$]和[0，$\frac{π}{6}$]．--------（6分）
（2）方程等价于f（x）=0或f（x）=$\sqrt{3}$，
当x=$±\frac{2}{3}π$时f（x）=0；
当0或$±\frac{1}{3}π$时f（x）=$\sqrt{3}$
综上可知x的所有可能取值为0，$±\frac{1}{3}π$，$±\frac{2}{3}π$--------------（12分）

点评 本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，函数的图象，熟练掌握正弦型函数的图象和性质，是解答的关键．