Question

2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AB，AD⊥DC，∠DAC=60°，PA=AC=2，AB=1，点E在棱PC上，且DE⊥PB．
（Ⅰ） 求CE的长；
（Ⅱ） 求二面角A-PB-C的正弦值．

Answer 1

分析 （I）建立空间直角坐标系，设出点的坐标得出$\overrightarrow{DE}=（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}-h，h），\overrightarrow{PB}=（1，0，-2）$．
根据DE⊥PB，运用数量积求解即可．
（II）平面PBC的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，根据$\overrightarrow{PC}=（0，2，-2），\overrightarrow{PB}=（1，0，-2）$，
易知$\overrightarrow{AC}=（0，2，0）$是平面PAB的法向量，运用$cos\left?{\overrightarrow n，\overrightarrow{AC}}\right＞=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow n}|•|{\overrightarrow{AC}}|}}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，求解正弦即可．

解答 解：（Ⅰ） 如图，以$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AP}$分别为x，y，z轴的正半轴方向，建立空间直角坐标系，则P（0，0，2），A（0，0，0），B（1，0，0），$C（0，2，0），D（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}，0）$．

过E作EF⊥AC于F，由已知，得EF∥PA，
设EF=h，则E（0，2-h，h）．              
∴$\overrightarrow{DE}=（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}-h，h），\overrightarrow{PB}=（1，0，-2）$．
∵DE⊥PB，∴$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{PB}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}-2h=0$，$h=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
∴$CE=\sqrt{2}h=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．       
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$\overrightarrow{PC}=（0，2，-2），\overrightarrow{PB}=（1，0，-2）$，
设平面PBC的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
则 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{PC}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{PB}=0\end{array}\right.$．
∴$\left\{\begin{array}{l}2y-2z=0\\ x-2z=0\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow n=（2，1，1）$．  
易知$\overrightarrow{AC}=（0，2，0）$是平面PAB的法向量，
∴$cos\left?{\overrightarrow n，\overrightarrow{AC}}\right＞=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow n}|•|{\overrightarrow{AC}}|}}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，
则二面角A-PB-C的正弦值为sin＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\sqrt{30}}{6}$．

点评 本题考查了空间向量的在求解空间角中的应用，考查了学生的空间思维能力，计算能力，属于中档题．