Question

1．在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a为无理数，则在过点P（a，-$\frac{1}{2}$）的所有直线中（　　）

• A． 有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点
• B． 恰有n（n≥2）条直线，每条直线上至少存在两个有理点
• C． 有且仅有一条直线至少过两个有理点
• D． 每条直线至多过一个有理点

Answer 1

分析 根据题意，假设一条直线上存在两个有理点，由此推断满足条件的直线有多少即可．

解答 解：设一条直线上存在两个有理点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由于$P（a，-\frac{1}{2}）$也在此直线上，
所以，当x₁=x₂时，有x₁=x₂=a为无理数，与假设矛盾，此时该直线不存在有理点；
当x₁≠x₂时，直线的斜率存在，且有$\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{{{y_2}+\frac{1}{2}}}{{{x_2}-a}}$，
又x₂-a为无理数，而$\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}$为有理数，
所以只能是${y_2}+\frac{1}{2}=0$，且y₂-y₁=0，
即${y_2}={y_1}=-\frac{1}{2}$；
所以满足条件的直线只有一条，且直线方程是$y=-\frac{1}{2}$；
所以，正确的选项为C．
故选：C．

点评 本题考查了新定义的关于直线方程与直线斜率的应用问题，解题的关键是理解新定义的内容，寻找解题的途径，是难理解的题目．