Question

10．四面体ABCD的四个顶点均在半径为2的球面上，若AB、AC、AD两两垂直，$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=2，则该四面体体积的最大值为（　　）

• A． $\frac{7\sqrt{2}}{6}$
• B． $\frac{7}{3}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 7$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由题意，$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=c•$\sqrt{{c}^{2}+{a}^{2}}$•$\frac{c}{\sqrt{{c}^{2}+{a}^{2}}}$=c²=2，进而可得a²+b²=14≥2ab，即可求出四面体体积的最大值．

解答 解：由题意，$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=c•$\sqrt{{c}^{2}+{a}^{2}}$•$\frac{c}{\sqrt{{c}^{2}+{a}^{2}}}$=c²=2，
∵a²+b²+c²=16，
∴a²+b²=14≥2ab，
∴ab≤7，
∴$V=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}abc$=$\frac{\sqrt{2}}{6}ab$≤$\frac{7\sqrt{2}}{6}$，
∴四面体体积的最大值为$\frac{7\sqrt{2}}{6}$，
故选：A．

点评 本题考查四面体体积的最大值，考查向量知识的运用，确定$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=c•$\sqrt{{c}^{2}+{a}^{2}}$•$\frac{c}{\sqrt{{c}^{2}+{a}^{2}}}$=c²=2是关键．