Question

15．等腰△ABC中，AB=AC，D为AC中点，BD=1，则△ABC面积的最大值为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 先在△ABD中利用余弦定理表示出cosA，进而求得sinA的表达式，进而代入三角形面积公式利用转化为二次函数来解决．

解答 解：cosA=$\frac{{b}^{2}+\frac{{b}^{2}}{4}-1}{2•b•\frac{1}{2}b}$=$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{{b}^{2}}$，
△ABC面积S=$\frac{1}{2}$b²•$\sqrt{1-（\frac{5}{4}-\frac{1}{{b}^{2}}）^{2}}$=$\frac{1}{8}$$\sqrt{-9（{b}^{2}-\frac{20}{9}）^{2}+\frac{256}{9}}$≤$\frac{2}{3}$，
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查了余弦定理和正弦定理的运用．解题过程中充分利用好等腰三角形这个条件，把表达式的未知量减到最少．