Question

6．甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场．已知甲球队第5，6场获胜的概率均为$\frac{3}{5}$，但由于体力原因，第7场获胜的概率为$\frac{2}{5}$．
（Ⅰ）求甲队分别以4：2，4：3获胜的概率；
（Ⅱ）设X表示决出冠军时比赛的场数，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设甲队以4：2，4：3获胜的事件分别为A，B，甲队第5，6场获胜的概率均为$\frac{3}{5}$，第7场获胜的概率为$\frac{2}{5}$，利用相互独立事件的概率乘法公式求解了即可、
（Ⅱ）随机变量X的可能取值为5，6，7，求出概率，列出随机变量X的分布列，然后求解期望即可．

解答 解：（Ⅰ）设甲队以4：2，4：3获胜的事件分别为A，B，
∵甲队第5，6场获胜的概率均为$\frac{3}{5}$，第7场获胜的概率为$\frac{2}{5}$，
∴$P（A）=（1-\frac{3}{5}）•\frac{3}{5}=\frac{6}{25}$，$P（B）={（1-\frac{3}{5}）^2}•\frac{2}{5}=\frac{8}{125}$，
∴甲队以4：2，4：3获胜的概率分别为$\frac{6}{25}$和$\frac{8}{125}$．
（Ⅱ）随机变量X的可能取值为5，6，7，
∴$P（X=5）=\frac{3}{5}$，P（X=6）=$（1-\frac{3}{5}）•\frac{3}{5}=\frac{6}{25}$，P（X=7）=${（1-\frac{3}{5}）^2}•\frac{2}{5}+{（1-\frac{3}{5}）^2}•（1-\frac{2}{5}）=\frac{4}{25}$，
∴随机变量X的分布列为

X	5	6	7
p	$\frac{3}{5}$	$\frac{6}{25}$	$\frac{4}{25}$

$E（X）=5×\frac{3}{5}+6×\frac{6}{25}+7×\frac{4}{25}=\frac{139}{25}$．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，独立重复试验概率的乘法公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．