Question

14．如图，已知几何体的底面ABCD 为正方形，AC∩BD=N，PD⊥平面ABCD，
PD=AD=2EC，EC∥PD．
（Ⅰ）求异面直线BD与AE所成角：
（Ⅱ）求证：BE∥平面PAD；
（Ⅲ）判断平面PAD与平面PAE是否垂直？若垂直，请加以证明；若不垂直，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先证明出EC⊥平面ABCD，进而根据线面垂直的判定定理证明出BD⊥平面AEC，进而推断出BD⊥AE，可知直线所成的角为90°．
（Ⅱ）先利用面面平行的判定定理证明出平面BCE∥平面PAD，进而证明出线面平行．
（Ⅲ）先假设垂直，作PA中点F，连结DF，证明出DF⊥PA和DF⊥PE，利用线面垂直的判定定理证明出CD⊥平面PAD和DF⊥平面PDCE，确定∠PDF的值．

解答 解：（Ⅰ）PD⊥平面ABCD，EC∥PD，
∴EC⊥平面ABCD，
又BD?平面ABCD，
∴EC⊥BD，
∵底面ABCD为正方形，AC∩BD=N，
∴AC⊥BD，
又∵AC∩EC=C，AC，EC?平面AEC，
∴BD⊥平面AEC，
∴BD⊥AE，
∴异面直线BD与AE所成角的为90°．
（Ⅱ）∵底面ABCD为正方形，
∴BC∥AD，
∵BC?平面PAD，AD?平面PAD，
∴BC∥平面PAD，
∵EC∥PD，EC?平面PAD，PD?平面PAD，
∴EC∥平面PAD，
∵EC∩BC=C，EC?平面BCE，BC?平面BCE，∴
∴平面BCE∥平面PAD，
∵BE?平面BCE，
∴BE∥平面PAD．
（Ⅲ） 假设平面PAD与平面PAE垂直，作PA中点F，连结DF，
∵PD⊥平面ABCD，AD CD?平面ABCD，
∴PD⊥CD，PD⊥AD，
∵PD=AD，F是PA的中点，
∴DF⊥PA，
∴∠PDF=45°，
∵平面PAD⊥平面PAE，平面PAD∩平面PAE=PA，DF?平面PAD，
∴DF⊥平面PAE，
∴DF⊥PE，
∵PD⊥CD，且正方形ABCD中，AD⊥CD，PD∩AD=D，
∴CD⊥平面PAD．
又DF?平面PAD，
∴DF⊥CD，
∵PD=2EC，EC∥PD，
∴PE与CD相交，
∴DF⊥平面PDCE，
∴DF⊥PD，
这与∠PDF=45°矛盾，
∴假设不成立即平面PAD与平面PAE不垂直．

点评 本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的运用．考查了学生推理能力和空间思维能力．