Question

5．在抽样方法中，有放回抽样与无放回抽样中个体被抽到的概率是不同的，但当总体的容量很大而抽取的样本容量很小时，无放回抽样可以近似看作有放回抽样．现有一大批产品，采用随机抽样的方法一件一件抽取进行检验．若抽查的4件产品中未发现不合格产品，则停止检查，并认为该批产品合格；若在查到第4件或在此之前发现不合格产品，则也停止检查，并认为该批产品不合格．假定该批产品的不合格率为0.1，设检查产品的件数为X．
（Ⅰ） 求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅱ） 通过上述随机抽样的方法进行质量检查，求认为该批产品不合格的概率．

Answer 1

分析 （1）X可能取得所有可能值，得出概率，列出分布列．
（2）认为该批产品合格的概率是$\frac{9}{10}×\frac{9}{10}×\frac{9}{10}×\frac{9}{10}=（\frac{9}{10}）^{4}$，从而得出不合格的概率．

解答 解 （1）由题意得，X的可能值为1，2，3，4，则有：
$P（X=1）=\frac{1}{10}$，$P（X=2）=\frac{9}{10}×\frac{1}{10}=\frac{9}{100}$，
$P（X=3）=\frac{9}{10}×\frac{9}{10}×\frac{1}{10}=\frac{21}{1000}$，$P（X=4）=\frac{729}{1000}$，
随机变量X的分布列分布列为：

X	1	2	3	4
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{9}{100}$	$\frac{21}{1000}$	$\frac{729}{1000}$

∴EX=$1×\frac{1}{10}+2×\frac{9}{100}+3×\frac{21}{1000}+\frac{729}{1000}×4$=3.439．
（2）认为该批产品合格的概率是$\frac{9}{10}×\frac{9}{10}×\frac{9}{10}×\frac{9}{10}=（\frac{9}{10}）^{4}$，
从而该批产品不合格的概率是P=1-$（\frac{9}{10}）^{4}$=0.3439．

点评 本题主要考查随机变量的分布列和概率求法，属于中档题型．