Question

11．已知函数f（x）=（1+a）lnx，g（x）=ax-$\frac{1}{x}$（a＞0）．
（1）若与f（x）的图象切于点A（1，f（1））的直线与函数g（x）的图象相切，求实数a的值；
（2）设F（x）=g（x）-f（x），若对任意a∈（1，3），x₁，x₂∈[1，3]，恒有（m-ln3）a-ln3＞|F（x₁）-F（x₂）|成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若与f（x）的图象切于点A（1，f（1））的直线与函数g（x）的图象相切，求出相应的切线方程，比较即可求实数a的值；
（2）求导数，确定F（x）在[1，3]上是增函数，由（m-ln3）a-ln3＞|F（x₁）-F（x₂）|对任意的a∈（1，3），x₁，x₂∈[1，3]恒成立，转化为（m-ln3）a-ln3＞|F（x₁）-F（x₂）|_max，分离出参数m后再化为函数的最值即可．

解答 解：（1）∵f（x）=（1+a）lnx，
∴f′（x）=$\frac{1+a}{x}$，
∴f′（1）=1+a，
∵f（1）=0，
∴f（x）的图象在点A（1，f（1））的切线的方程为y=（1+a）（x-1）①．
由g（x）=ax-$\frac{1}{x}$，可得g′（x）=a+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
设切点为（n，an-$\frac{1}{n}$），则切线方程为y-（an-$\frac{1}{n}$）=（a+$\frac{1}{{n}^{2}}$）（x-n），即y=（a+$\frac{1}{{n}^{2}}$）x+$\frac{2}{n}$②
①②比较可得a=-3或1；
（2）F（x）=g（x）-f（x）=ax-$\frac{1}{x}$-（1+a）lnx，
∴F′（x）=a+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1+a}{x}$=$\frac{a（x-1）（x-\frac{1}{a}）}{{x}^{2}}$
∴a∈（1，3），
∴F（x）在[1，3]上是增函数，
∴|F（x₁）-F（x₂）|≤F（3）-F（1）=2a-（1+a）ln3+$\frac{2}{3}$，
由（m-ln3）a-ln3＞|F（x₁）-F（x₂）|对任意的a∈（1，3），x₁，x₂∈[1，3]恒成立，
∴（m-ln3）a-ln3＞|F（x₁）-F（x₂）|_max，即（m-ln3）a-ln3＞2a-（1+a）ln3+$\frac{2}{3}$任意1＜a＜3恒成立，
∴m＞2+$\frac{2}{3a}$对任意1＜a＜3恒成立，
由于1＜a＜3，∴m＞$\frac{8}{3}$．

点评 该题考查利用导数研究切线方程、最值、单调性，考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．