Question

12．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BC₁，DC的中点．
（1）求直线DE与平面ABCD所成角的正切值；
（2）求证：AF⊥DE．

Answer 1

分析 （1）过E作EF′⊥BC，交BC于F′，连接DF′，得到∠EDF′是直线DE与平面ABCD所成的角，然后再在三角形EDF′中求出此角即可．
（2）根据线面垂直的判定定理，可得AF⊥平面DEF′，进而根据线面垂直的定义，可得AF⊥DE．

解答 解：（1）过E作EF′⊥BC，交BC于F′，连接DF′．

∵EF′⊥BC，CC₁⊥BC
∴EF′∥CC₁，而CC₁⊥平面ABCD
∴EF′⊥平面ABCD，
∴∠EDF′是直线DE与平面ABCD所成的角
由题意，得EF′=$\frac{1}{2}$CC1=1．
∵CF′=$\frac{1}{2}$CB=1，
∴DF′=$\sqrt{5}$
∵EF′⊥DF′，
∴tan∠EDF′=EF′：DF′=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
故直线DE与平面ABCD所成角的正切值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
证明：（2）由F为DC的中点，可得△ADF≌△DCF′，
故∠DAF=∠CDF′，故∠DAF+∠ADF′=90°，
故AF⊥DF′，
又由EF′∥CC₁，而CC₁⊥平面ABCD
可得：EF′⊥平面ABCD
又由AF?平面ABCD可得EF′⊥AF，
又∵DF′∩EF′=F′，DF′，EF′?平面DEF′，
∴AF⊥平面DEF′，
又由DE?平面DEF′，
∴AF⊥DE．

点评 本题主要考查了直线与平面之间所成角，线线垂直与线面垂直的转化，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题