Question

9．关于函数f（x）=x²（lnx-a）+a，给出以下4个结论：
①?a＞0，?x＞0，f（x）≥0；
②?a＞0，?x＞0，f（x）≤0；
③?a＞0，?x＞0，f（x）≥0；
④?a＞0，?x＞0，f（x）≤0．
其中正确结论的个数是3．

Answer 1

分析 ①令a=$\frac{1}{2}$，进行验证即可；
②令a=5，通过验证结论成立；
③当a=5时，举反例x=5时，不满足条件；
④求函数的导数，判断函数存在极值进行判断．

解答 解：①当a=$\frac{1}{2}$，则f（x）=x²（lnx-$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$，函数的定义域为（0，+∞），
此时函数的导数f′（x）=2x（lnx-$\frac{1}{2}$）+x²•$\frac{1}{x}$=2xlnx-x+x=2xlnx，
由f′（x）=0得，x=1，则当x＞1时，则f′（x）＞0，此时函数递增，
当0＜x＜1时，则f′（x）＜0，此时函数递减，故当x=1时，函数f（x）取得极小值同时也是最小值f（1）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=0，
则对?x＞0，f（x）≥f（1）=0；故①正确，
②当a=5，则f（x）=x²（lnx-5）+5，则f（e）=e²（lne-5）+5=-4e²+5＜0，故②?a＞0，?x＞0，f（x）≤0，成立．
③由②知当a=5时，?x=e，满足e＞0，但f（e）＜0，故③?a＞0，?x＞0，f（x）≥0不成立，故③错误．
④函数的导数f′（x）=2x（lnx-a）+x²•$\frac{1}{x}$=2x（lnx-a）+x=x（2lnx-2a+1）=2x（lnx+$\frac{1}{2}$-a）．
由f′（x）=0，则lnx+$\frac{1}{2}$-a=0，即lnx=a-$\frac{1}{2}$，
即?a＞0，函数f（x）都存在极值点，即?x＞0，f（x）≤0成立，故④正确，
综上正确是有①②④，共3个
故答案为：3

点评 本题主要考查命题的真假判断，利用特殊值法和排除法是解决本题的关键．难度较大．