Question

2．已知定义域为R的函数f（x）=$\frac{2a+2bx+sinx+（a+bx）cosx}{2+cosx}$（a，b∈R）有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为8，则2a-3b=（　　）

• A． 7
• B． 8
• C． 9
• D． 1

Answer 1

分析 对函数解析式化简整理，转化函数f（x）-a=bx+$\frac{sinx}{2+cosx}$判断出其奇偶性，根据最大值和最小值和为0，进而求得a，根据函数的有界性判断出b=0，进而求得答案．

解答 解：f（x）=$\frac{a（2+cosx）+bx（2+cosx）+sinx}{2+cosx}$=a+bx+$\frac{sinx}{2+cosx}$，
则f（x）-a=bx+$\frac{sinx}{2+cosx}$为奇函数，
则f（x）_max-a+f（x）_min-a=0，
即f（x）_max+f（x）_min=2a，
∵最大值与最小值的和为8，
∴2a=8，则 a=4，
∵f（x）=a+bx+$\frac{sinx}{2+cosx}$，
∵若f（x）在R上既有最大值又有最小值，
∴b=0，否则函数的值域为R，
则2a-3b=8．
故选：B

点评 本题主要考查函数最值的应用，利用条件构造奇函数是解决本题的关键．