Question

17．如图，$\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{OM}=m\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{ON}=n\overrightarrow{OA}$，若m=$\frac{3}{8}$，那么n=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 由已知可得，$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{4m}\overrightarrow{OM}+\frac{1}{4n}\overrightarrow{ON}$，根据三点共线的充要条件，可得$\frac{1}{4m}+\frac{1}{4n}$=1，将m=$\frac{3}{8}$代入，可得n值．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC}$，
故C为线段AB的中点，
故$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{OP}$，
∴$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OB}$，
由$\overrightarrow{OM}=m\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{ON}=n\overrightarrow{OA}$，
∴$\overrightarrow{OB}=\frac{1}{m}\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{OA}=\frac{1}{n}\overrightarrow{ON}$，
∴$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{4m}\overrightarrow{OM}+\frac{1}{4n}\overrightarrow{ON}$，
∵M，P，N三点共线，
故$\frac{1}{4m}+\frac{1}{4n}$=1，
当m=$\frac{3}{8}$时，n=$\frac{3}{4}$，
故选：C

点评 本题考查的知识点是平面向量的基本定理及其意义，其中熟练掌握三点共线的充要条件，是解答的关键．