Question

9．已知抛物线C的方程为x²=2py（p＞0），焦点F，点A（-1，1），B（-2，1），满足$\overrightarrow{FA}$=$λ\overrightarrow{FB}$．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过点A作斜率为正的直线交抛物线C于不同于B的两点M，N，若直线BM，BN分别交直线l：x+2y+1=0于P，Q两点，求|PQ|最小时直线MN的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知，F，A，B共线，故F（0，1），求出p=2，由此能求出抛物线C的方程．
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线MN的方程为y=k（x+1）+1（k≠0），代入抛物线方程，利用韦达定理；再求出P，Q的横坐标，能求出|PQ|最小时直线MN的方程．

解答 解：（Ⅰ）由已知，F，A，B共线，故F（0，1），即$\frac{p}{2}$=1，解得p=2，
∴抛物线C的方程为x²=4y．
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线MN的方程为y=k（x+1）+1（k≠0），
代入抛物线方程，消去y，并整理，得：x²-4kx-4（k+1）=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4（k+1），
设直线BM的方程为y=k₁（x+1）+1，与x+2y+1=0联立可得x_P=$\frac{-4{k}_{1}-3}{2{k}_{1}+1}$，
∵k₁=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}+2}$=$\frac{1}{4}$（x₁-2），∴x_P=-$\frac{2}{{x}_{1}}$-2，
同理x_Q=-$\frac{2}{{x}_{2}}$-2，
∴|PQ|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$|x_P-x_Q|=$\sqrt{5}$•$\frac{\sqrt{{k}^{2}+k+1}}{k+1}$=$\sqrt{5}$•$\sqrt{1-\frac{1}{k+\frac{1}{k}+2}}$≥$\frac{\sqrt{15}}{2}$
当且仅当k=1时，取等号，即|PQ|最小，
∴|PQ|最小时直线MN的方程为x-y+2=0．

点评 本题考查抛物线方程的求法，考查线段的最小值的求法，考查直线方程的求法，正确求出P，Q的横坐标是关键．