Question

12．已知函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），则f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]时的值域是[-1，$\sqrt{2}$]；又若将函数y=f（x）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度得到的图象恰好关于点（$\frac{π}{4}$，0）对称，则实数a的最小值为$\frac{π}{8}$．

Answer 1

分析 由x∈[0，$\frac{π}{2}$]可解得$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，根据正弦函数的性质即可求得f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]时的值域；
由题意可得：f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），平移a个单位长度后得到函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+2a+$\frac{π}{4}$），根据对称性可得2×$\frac{π}{4}$+2a+$\frac{π}{4}$=kπ（k∈Z），即可得到a=-$\frac{3π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$，（k∈Z）进而得到答案．

解答 解：∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
根据正弦函数的性质得，sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，则$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\sqrt{2}$]，
∴f（x）的值域是[-1，$\sqrt{2}$]．
将函数y=f（x）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度得到函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（2（x+a）+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（2x+2a+$\frac{π}{4}$）的图象，
∵函数y=$\sqrt{2}$sin（2x+2a+$\frac{π}{4}$）关于点（$\frac{π}{4}$，0）对称，
所以2×$\frac{π}{4}$+2a+$\frac{π}{4}$=kπ（k∈Z），即a=-$\frac{3π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$，（k∈Z）
因为a＞0，所以k＞$\frac{3}{4}$
所以当k=1时，a有最小值$\frac{π}{8}$．
故答案为：[-1，$\sqrt{2}$]，$\frac{π}{8}$

点评 本题主要考查正弦函数的有关性质，即对称性、单调性以及三角函数图象的平移变换，属于中档题．