Question

1．在直角坐标平面xoy中，F是抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为$\frac{3}{4}$，则抛物线C的方程为（　　）

• A． x²=$\frac{1}{2}$y
• B． x²=y
• C． x²=2y
• D． x²=4y

Answer 1

分析 由已知条件推导出点Q到抛物线C的准线的距离为$\frac{p}{4}$+$\frac{p}{2}$=$\frac{3}{4}$，由此能求出抛物线C的方程．

解答 解：抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点F（0，$\frac{p}{2}$），
设M（x₀，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2p}$），x₀＞0，Q（a，b），
由题意知b=$\frac{p}{4}$，
则点Q到抛物线C的准线的距离为b+$\frac{p}{2}$=$\frac{p}{4}$+$\frac{p}{2}$=$\frac{3}{4}$，
解得p=1，
∴抛物线C的方程为x²=2y．
故选：C．

点评 本题考查抛物线的简单性质、直线与抛物线的位置关系，考查数形结合思想，属中档题．