Question

6．已知递增等差数列{a_n}满足：a₁=2，a₁，a₂，a₃成等比数列
（Ⅰ）求{a_n}通项公式
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n+1-b_n=a_n+2，且b₁=2，设数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和T_n，求证：T_n＜1．

Answer 1

分析 （I）设递增等差数列{a_n}的公差为d＞0，由a₁=2，a₁，a₂，a₄成等比数列，可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{（{a}_{1}+d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+3d）}\end{array}\right.$，解得即可．
（II）b_n+1-b_n=a_n+2=2（n+1），且b₁=2，利用“累加求和”可得b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁，再利用“裂项求和”即可得出．

解答 （I）解：设递增等差数列{a_n}的公差为d＞0，
∵a₁=2，a₁，a₂，a₄成等比数列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{（{a}_{1}+d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+3d）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=2}\end{array}\right.$，
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（II）证明：∵b_n+1-b_n=a_n+2=2（n+1），且b₁=2，
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=2n+2（n-1）+…+2×2+2=$2×\frac{n（n+1）}{2}$=n（n+1），
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴前n项和T_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$＜1．
∴T_n＜1．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．