Question

11．已知x，y∈R⁺，且x+y=2
（Ⅰ）要使不等式$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$≥|a+2|-|a-1|恒成立，求实数a的取值范围
（Ⅱ）求证：x²+2y²$≥\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）•$\frac{x+y}{2}$=1+$\frac{y}{2x}$+$\frac{x}{2y}$，利用基本不等式求得它的最小值为2，再由2≥|a+2|-|a-1|，利用绝对值的意义求得实数a的取值范围．
（Ⅱ）由柯西不等式得（x²+2y²）•（1+$\frac{1}{2}$）≥（x+y）²=4，由此变形即可证得要证的结论．

解答 解：（Ⅰ）∵x，y∈R⁺，且x+y=2，∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）•$\frac{x+y}{2}$=1+$\frac{y}{2x}$+$\frac{x}{2y}$≥2，
当且仅当x=y=1时，取等号．
要使不等式$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$≥|a+2|-|a-1|恒成立，只要2≥|a+2|-|a-1|．
而|a+2|-|a-1|表示数轴上的a对应点到-2的距离减去它到1对应点的距离，而$\frac{1}{2}$对应点到-2的距离减去它到1对应点的距离正好等于2，
故不等式2≥|a+2|-|a-1|的解集为（-∞，$\frac{1}{2}$）．
（Ⅱ）证明：由柯西不等式得（x²+2y²）•（1+$\frac{1}{2}$）≥（x+y）²=4，∴x²+2y²≥$\frac{8}{3}$．

点评 本题主要考查基本不等式、柯西不等式的应用，绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题．